17世纪数学家雅各布•贝努利创造了“大数法则”，宣称即使是最愚蠢的人也明白，样本越大就越能准确地反映某事的真实概率。在博彩方面，这称之为“赌徒谬误”，这可能是非常昂贵的误解。
大数法则
使用抛硬币为例（正反面各有50%公平机率朝上），贝努利计算出如果抛硬币的次数足够多，正面或反面朝上的比例越接近50%，然而正面或反面朝上的实际次数之差也越来越大。
贝努利理论的第二部分是，人们在理解上存在问题，这称之为“赌徒谬误”。如果你告诉某人你抛了九次硬币，每次都是正面朝上，他们将推测下一次比较有可能是反面。
但是这是不正确的，因为硬币没有记忆，所以每一次抛硬币，正面或反面的概率仍是一样：0.5（50%机率）。
贝努力的发现表示，当抛硬币的样本足够大，例如：一百万次，正面或反面的分布将越来越接近50%。因为样本非常大，但是偏离50%的预期偏差可能高达500次。
计算统计标准偏差的等式让我们知道应该预期到什么：
0.5 × √ (1,000,000) = 500
尽管对于多次抛硬币我们可以观察到预期偏差，之前说的九次抛硬币不是足够大的样本，因此不适用。
因此，九次抛硬币就像从一百万次中提取出的一个小顺序，样本太小不能得出像贝努力暗示在一百万次抛硬币的样本中将得出平均概率，而是纯粹靠运气得出的顺序。
应用分布
预期偏差在博彩中有一些明确的应用。最显著的应用就是娱乐场游戏，例如：俄罗斯转盘，人们误认为红或黑，单或双的概率在一节游戏中是平均的，如此你也这么认为，你将损失惨重。因此，“赌徒谬误”也称为“蒙地卡罗谬误”。
1913年，蒙地卡罗娱乐场的一张俄罗斯转盘桌连续出现26次黑色。在第15次黑色后，博彩玩家纷纷将钱投到红色，认为再次转到黑色的机率极其渺茫，这件事显示出一种不合理的思维，认为上一次的旋转结果在某种程度上会影响下一次的结果。
另一个例子是老虎机，实际上是设定了RTP（玩家收益率）的随机数字生成机。你常常会看到，玩家将大笔资金投入机器而没有成功，这并不能使其他玩家离开他们的游戏机，他们认为连续输这么多轮后，下一轮一定能赢大钱。
当然，要使这个策略可行，博彩玩家将要玩非常非常多次才能达到RTP。
通过了解大数法则，以及应该扔进垃圾箱的平均数法则（或谬误），你就不会成为贝努利口中的“蠢人”。
